Limit

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumenmendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencariturunan dan kekontinyuan.

Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.

Daftar isi

  [sembunyikan] 

• 1 Limit sebuah fungsi
  • 1.1 Definisi formal
  • 1.2 Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
• 2 Limit barisan
• 3 Bacaan lebih lanjut

Limit sebuah fungsi[sunting | sunting sumber]

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit fungsi

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai xdekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c)  L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titikc. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.

Sebagai contoh,  pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	0.4	0.3998	0.3988	0.3882

Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu . Dalam kasus dimana , f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,

Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun ; g tidak kontinyu pada titik x = 2.

Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.

Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama dengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	undef	2.001	2.010	2.10

Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari adalah 2.

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila  adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik  (dengan kemungkinan pengecualian pada titik ) dan  adalah bilangan real, maka

berarti bahwa untuk setiap  terdapat  yang untuk semua  dimana , berlaku .

Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga[sunting | sunting sumber]

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat xmendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Sebagai contoh, lihat .

• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998

Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa

Limit barisan[sunting | sunting sumber]

Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalkan x₁, x₂, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limitbarisan ini dan menuliskannya sebagai

yang artinya

Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n₀ sehingga untuk semua n > n₀, |x_n − L| < ε.

Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |x_n − L| adalah jarak antara x danL. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebutdivergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f padax, bila ada, sama dengan limit barisan x_n = f(x + 1/n).